İçeriğe git

Welcome to Kadim Dostlar ™ Forum
Register now to gain access to all of our features. Once registered and logged in, you will be able to create topics, post replies to existing threads, give reputation to your fellow members, get your own private messenger, post status updates, manage your profile and so much more. This message will be removed once you have signed in.
Login to Account Create an Account
Resim

[Matematik] Geometrik Seri | Matematikte Geometrik Seri Art Arda Gelen İki Terimi Arasında Sabit Bir Oran Bulunan Seri

- - - - -

  • Yanıtlamak için lütfen giriş yapın
Bu konuya 3 yanıt gönderildi

#1
Hale

Hale

    Hayat nefeslerle sınırlı, sevgilerle sonsuzdur.

  • Yönetici
  • 49.690 İleti
  • Gender:Female
  • Location:İstanbul
  • Interests:Mustafa Kemal ATATÜRK, Türk Tarihi, Türk Dili, Türk Edebiyatı, Türk Kültürü.
Geometrik Seri



Matematikte geometrik seri art arda gelen iki terimi arasında sabit bir oran bulunan seridir.



Resmi ekleyen



Mor alanlar toplamı büyük karenin alanının üçte birine eşittir.




Örneğin,


Resmi ekleyen


serisi geometriktir çünkü ilk terim dışındaki tüm terimler önceki terimi Resmi ekleyen yle çarparak elde edilebilmektedir.


Seriye terimler eklendikçe toplam 1'e yaklaşmaktadır. Bu ifade, "bu serinin toplamı 1'dir" ya da "bu serinin sonsuz toplamı 1'dir" biçiminde de söylenebilmektedir.


Resmi ekleyen


Geometrik seriler, sonlu toplamı olan sonsuz serilere verilebilecek en basit örneklerdendir. Tarihte kalkülüsün gelişiminde büyük bir öneme sahip olan bu seriler günümüzde seri yakınsaklığı çalışmalarında kullanılmaktadır. Geometrik seriler matematiğin yanı sıra fizik, mühendislik, biyoloji, ekonomi, berimsel bilimler ve finansta da kullanılmaktadır.


#2
Hale

Hale

    Hayat nefeslerle sınırlı, sevgilerle sonsuzdur.

  • Yönetici
  • 49.690 İleti
  • Gender:Female
  • Location:İstanbul
  • Interests:Mustafa Kemal ATATÜRK, Türk Tarihi, Türk Dili, Türk Edebiyatı, Türk Kültürü.
Geometrik Seri



Ortak Oran


Bir geometrik serinin terimleri geometrik ilerleme oluştururlar. Aşağıdaki tablo farklı ortak oranlara sahip geometrik serileri göstermektedir.


Resmi ekleyen



Terimlerin davranışı ortak oran r'ye bağlıdır.

r -1 ile +1 arasındaysa seri terimleri giderek küçülür ve sıfıra doğru yaklaşır. Seri, toplamı olan 1'e yakınsar.

r 1'den büyük ya da -1'den küçükse seri terimleri giderek büyür ve böylece seri herhangi bir sonlu değere yakınsamaz (seri ıraksar).

r 1'e eşitse serinin tüm terimleri 1'dir. Seri bu durumda da ıraksar.

r -1 ise seri terimleri iki değeri değişmeli olarak alır (örneğin, 2, -2, 2, -2, 2, …). Terimler iki değer arasında dalgalanır (2, 0, 2, 0, 2, … gibi). Seri bu durumda da ıraksar.


#3
Hale

Hale

    Hayat nefeslerle sınırlı, sevgilerle sonsuzdur.

  • Yönetici
  • 49.690 İleti
  • Gender:Female
  • Location:İstanbul
  • Interests:Mustafa Kemal ATATÜRK, Türk Tarihi, Türk Dili, Türk Edebiyatı, Türk Kültürü.
Geometrik Seri



Toplam



Bir geometrik serinin toplamı seri terimleri sıfıra yaklaştığı sürece sonludur. Toplam, serinin kendine benzerliği kullanılarak hesaplanabilir.



Resmi ekleyen



s toplamının kendine benzer ifadesi. En büyük çemberin kaldırılması özgün şeklin 2/3'ü boyutunda bir şekil oluşturur.




Örnek


Resmi ekleyen


geometrik serisi 2/3'lük bir ortak orana sahiptir. Çarpım işlemleri bu ortak oranla yapıldığında 1 olan ilk terim 2/3'e, 2/3 olan ikinci terim 4/9'a dönüşür. İşlemler diğer terimler için de yapıldığında


Resmi ekleyen


sonucu elde edilir. Bu seri, özgün seriyle ilk terim dışında tümüyle aynıdır. Kendine benzer herhangi bir ifadeyi hesaplamak için benzer yöntemler kullanılabilir.




Formül


Resmi ekleyen olmak koşuluyla bir geometrik serinin ilk n terimi toplamı


Resmi ekleyen


biçiminde ifade edilebilir. Burada a, serinin ilk terimini gösterirken r, ortak oranı belirtir.


Bu formül şu biçimde çıkarılabilir:


Resmi ekleyen


n sonsuza giderken serinin yakınsayabilmesi için r'nin mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir. Toplam


Resmi ekleyen


biçimini alır. a = 1 ise bu ifade


Resmi ekleyen


eşitliğine indirgenir.


Bu formül şu biçimde çıkarılabilir:


Resmi ekleyen


Bu formül yalnızca yakınsak seriler için (r'nin büyüklüğü 1'den küçükken) geçerlidir. Örneğin, r = 10 iken toplam tanımsızdır.
Bu akıl yürütme karmaşık düzlemde de aynı kısıtlamalarla yer alır.


Yakınsaklık kanıtı


Geometrik serinin yakınsadığı, geometrik ilerleme formülü kullanılarak kanıtlanabilir.


Resmi ekleyen


| r | < 1 için rn+1 → 0 olduğundan limit 1 /(1 - r) ifadesine eşit olur.


#4
Hale

Hale

    Hayat nefeslerle sınırlı, sevgilerle sonsuzdur.

  • Yönetici
  • 49.690 İleti
  • Gender:Female
  • Location:İstanbul
  • Interests:Mustafa Kemal ATATÜRK, Türk Tarihi, Türk Dili, Türk Edebiyatı, Türk Kültürü.
Geometrik Seri



Uygulamalar


Yinelenen ondalıklar


Bir yinelenen ondalık, ortak oranı 1/10'un bir üssü olan geometrik seri olarak da düşünülebilir.


Resmi ekleyen


Geometrik seri toplam formülü, ondalığı kesre dönüştürmek amacıyla kullanılabilir.


Resmi ekleyen


Görüldüğü gibi, formül yalnızca bir ondalık için değil, art arda gelen yinelenen ondalıklar için de kullanılabilmektedir.


Resmi ekleyen


Yinelenen ondalıklı herhangi bir seri şu biçimde yalınlaştırılabilir:


Resmi ekleyen



Parabolün karelenmesi


Arşimet geometrik seri toplamını, bir parabol ve bir doğrunun çevrelediği alanı hesaplamak için kullanmıştır. Temel alınan yöntem, alanın sonsuz çoklukta üçgene ayrılması olarak tanımlanabilir.


Resmi ekleyen



Bir parabol ve bir doğru tarafından çevrelenen alan sonsuz çoklukta üçgen oluşturur.




Arşimet teoremi, parabolün altında kalan alanın mavi üçgenin alanının 4/3'üne eşit olduğunu ortaya koymaktadır. Üstün geometri bilgisini kullanan Arşimet, sarı üçgenlerin alanının mavi üçgenlerin alanının 1/8'ini, yeşil üçgenlerin alanının sarı üçgenlerin alanının 1/8'ini, ... oluşturduğunu gözlemlemiştir.

Mavi üçgenin alanı 1 olarak alınırsa toplam alan


Resmi ekleyen


serisiyle ifade edilebilir.


İlk terim mavi üçgenin alanını, ikinci terim iki sarı üçgenin alanını, üçüncü terim dört yeşil üçgenin alanını belirtmekte ve bu seri sonsuza dek sürmektedir. Kesirler yalınlaştırıldığında


Resmi ekleyen


sonucuna ulaşılır. Bu, ortak oranı 1/4 olan bir geometrik seridir. Kesirli bölüm 1/3'e eşittir.


Resmi ekleyen


Toplam


Resmi ekleyen olarak hesaplanır.


Bu hesaplama, eski bir integral alma yolu olan tüketme yöntemini kullanmaktadır. Bu alan, çağdaş kalkülüste belirli integral yardımıyla bulunabilmektedir.


Fraktal geometri


Fraktal çalışmalarında geometrik seriler, bir kendine benzer şeklin çevresi, alanı ve hacmini hesaplamada kullanılmaktadır.



Resmi ekleyen



Koch kar tanesinin içinde sonsuz çoklukta üçgen bulunur.




Örneğin, Koch kar tanesinin kapladığı alan sonsuz çoklukta eşkenar üçgen olarak tanımlanabilir. Yeşil üçgenin her ayrıtı büyük mavi üçgenin ayrıt uzunluğunun 1/3'üne eşit olduğundan yeşil üçgenin alanı toplam alanın 1/9'unu kaplar. Mavi üçgenin alanı temel alındığında kar tanesinin toplam alanı


Resmi ekleyen


olarak yazılabilir.


Bu serinin ilk terimi mavi üçgenin alanını, ikinci terimi üç yeşil üçgenin toplam alanını, üçüncü terim oniki sarı üçgenin toplam alanını göstermekte ve bu sonsuza dek sürmektedir. Baştaki 1 dışarıda tutulduğunda bu seri, ortak oranı 4/9 olan geometrik seriye dönüşmektedir. Bu geometrik serinin ilk terimi a = 3(1/9) = 1/3'tür.

Böylece, alan


Resmi ekleyen


olarak hesaplanabilir. Koch kar tanesinin alanı temel üçgenin alanının 8/5'ine eşittir.


Zeno çatışkıları


Bir geometrik serinin yakınsaklığının anlaşılması Zeno çatışkılarının büyük bir bölümünü saf dışı bırakmaktadır. Bunun temel nedeni, bir sonsuz kümenin toplamının | r | < 1 için sonlu kalabilmesidir. Örneğin, Zeno'nun ikiye bölme çatışkısı devinimi olanaksızlaştırmaktadır çünkü katedilecek her yol, kalan uzunluğun yarısı cinsinden ifade edilebilir. Buradaki gizli varsayım, sonlu sayıda adımın sonsuz toplamının sonlu olamayacağıdır. Bu, geometrik serilerin yakınsaklığı kavramı tarafından çürütülmüş bir önermedir.


Öklit


Öklit'in Elementler adlı yapıtının IX. kitap, 35. önermesi geometrik serinin kısmi toplamını serinin terimleri cinsinden ifade etmektedir. Bu gösterim, çağdaş formülle birebir örtüşmektedir.


Ekonomi


Geometrik seriler, ekonomide yıllık ödeneklerin bugünkü değerlerinin hesaplanmasında kullanılmaktadır.

Bir yıl içinde 100 lira gelir elde edecek olan birinin kazancı, parayı hemen alması durumunda elde edecek olduğu kazançtan daha azdır çünkü ele geçmeyen para yatırım aracı olarak kullanılamaz. Bir yıl sonra ele geçecek olan 100 liranın bugünkü değeri 100 / (1 + i)'dir. Burada i, yıllık faiz oranını göstermektedir.

Benzer biçimde, iki yıl sonra ele geçecek olan 100 liranın bugünkü değeri 100 / (1 + i)2 olarak hesaplanır. Böylece, her yıl 100 liralık gelir elde edecek olan birinin elindeki paranın bugünkü değeri bir sonsuz seri biçiminde yazılabilir.


Resmi ekleyen


Bu, ortak oranı 1 / (1 + i) olan geometrik seridir.


Toplam


Resmi ekleyen


biçiminde yazılabilir.


Yıllık faiz oranı %10 olarak alınırsa tüm gelirin bugünkü değeri 1000 lira olur.





0 Kullanıcı konuyu okuyor

0 Kullanıcı, 0 Misafir, 0 Kayıtsız kullanıcı